조회 수 189 좋아요 1 댓글 0
?

단축키

Prev이전 문서

Next다음 문서

크게 작게 위로 아래로 댓글로 가기 인쇄

 

 

첨부 이미지

 

 

 

09수능 25번 문제인데요.
 

이 문제가 어떻게 만들어진건지 개인적인 견해를 써보려고해요.  

 

문제만드는사람들이 보시면 도움이 될거같아요.

 

이문제의 핵심적인 아이디어는 아래 그림처럼 빨간 직각삼각형을 포함하는 원이 

 

이 구의 지름을 포함하는 원이 되기때문에 지름일때의 원주각이 직각이라는 사실을 이용하면 

 

Q'R'의 길이가 4라는걸 알아내는게 아이디어잖아요??

(빨간직각삼각형은 문제에서주어진 직감삼각형을 정면에서 바라본것과같음)  

 

문제에서 주어진 그림으로는 이걸 알아내기 어렵지만 저렇게 다른각도에서보면 좀더 쉽게볼수있어요.

 

 

첨부 이미지

 

그렇다면 이 아이디어는 어떻게 나온것이냐를 고민을 해봤어요

 

일단 여러가지  견해가 있는데 그중에서 대표적인것을 일단 설명해볼게요.

 

아래그림처럼 건축분야에서 구형의 건축물이 존재하잖아요?

 

첨부 이미지

 

 

그런데 이 구형의 건물안에 사람이 들어가려면 아래 그림처럼 구체의 건물안에 원기둥 형태의 

 

구조물이 들어가있어야돼요. 그래야 평평한 원기둥의 밑면을 밟으면서 사람이 움직일수있죠. 

 

 

 

첨부 이미지

 

만약에 저런 원기둥이 안에 없다면

 

첨부 이미지

 

이렇게되서 걷기힘들겠죠?

 

 

 

예를들어서 지름이 4KM인 건축물을 짓는다고 가정할때

 

그안에 어떤 원기둥을 내접시켜야할지 고민해야돼요.

 

이왕이면 사람을 조금이라도 더 수용하기위해선 

 

부피가 최대한 큰 원기둥을 내접시켜야 돼요.

 

쉽게말해서 지름이 4KM인 구 안에 내접하는 원기둥의 부피가 언제 최댓값이 되는지를 찾아야해요.

 

 

첨부 이미지

 

원기둥의 부피는 밑면의 넓이*높이니까 구에 내접하는 원기둥의 부피를 구하려면

 

밑면의 넓이와 높이를 구해야돼요.

 

일단 구에 내접하는 원기둥의 밑면의 지름을 2x라고 두고 ( x라 둬도 상관없는데 계산복잡해지니깐 2x라고 둘게요)

 

이 원기둥의 부피를 구하려면 높이를 x에 관해 표현해야돼요.

 

근데 높이 h를 바로 구할순없어요. 그러면 여기서 h를 어떻게 구할지 고민을 해야돼요.

 

근데 상식적으로 h는 구의 지름에따라서 전혀 다르게 표현이 되는값이기때문에 

 

구의 지름이 4라는 사실을 사용하지않으면 절대로 구할수없겠죠? (예를들어서 밑면의 지름이 2일때 원기둥의높이는 구의지름이 뭐냐에따라 달라질수밖에없어요. 그림그려보면 직관적으로 이해될거에요)

첨부 이미지

 

 

근데 마침 선분AB가 밑면의 지름이기때문에 점A,B,C를 포함하는 원은 이 구의 지름을 포함하는 

 

구의 대원이라는 사실을 알수있고 각ABC가 직각이기때문에 원주각의 성질을 이용하면 

 

선분AC가 구의 지름이라는 사실을 알수있어요(09수능25번의 아이디어와 같음)->지름일때 원주각이 90도니까 역으로 원주각이 90도일때는 지름이된다는 아이디어.

 

따라서 AC=4 이므로 


피타고라스 정리를 쓰면 h=루트(16-4x^2)

 

따라서 구의 부피는 π x^2* 루트(16-4x^2) 이고 미분을 이용하면 이값의 최댓값을 구할수있어요

 

 

첨부 이미지

 

이러면 일단 이문제의 가장 핵심적인 아이디어인 "원주각을 이용해서 지름구하기" 가 

 

어떻게 나온건지 알게됐어요. 그렇다면 삼수선의 정리는 이문제에 어떻게 도입을 한건지 

 

생각을 해야돼요. 제 생각엔 이문제를 단순히 저 원주각 아이디어로만 만들면 

 

거의 중학도형문제가 되버리고 수능문제가 안되잖아요? 그래서 수능형태의 문제로 만들려면 

 

결국 정사영이나 삼수선개념을 쓰게 만들어야할수밖에없어요. 근데 정사영문제로 만들기에는

 

적합하지않아요. 삼각형 PQR을 어딘가로 정사영시켜야하는데 시킬데가없어요.

 

 삼각형 PQR을 원C로 정사영시키라고 문제를만들면  

 

정사영값은 선분PQ니까 문제가 수학적으로 의미가없어지죠. 그렇다고 다른평면으로 정사영시킬려고해도  

 

마땅히 다른평면이없고 결국 이 아이디어는 삼수선이랑 결합시키는수밖에없어요.

 

그러기위해선 어떤 직각인 뭔가가 있어야하잖아요? 근데 마침 PQ가 원의 지름이니까 

 

지름일때 원주각이 직각이라는걸 이용하면 <PAQ=90 이니까 직각을 하나 도입할수있어요.

 

그러면 자연스럽게 삼각형 QRA가 직각삼각형이되니까 이삼각형의 넓이를구하라고문제를만들면 딱인거죠.  

 

이러면 "지름일때 수직이다"와 "수직이니까 지름이다"를 동시에 문제에 적용시킬수있으니까  

 

절묘하고 아름다운문제가돼요.

 

 


공부칼럼

공부에 대한 여러가지 생각들을 모으는 게시판입니다.

List of Articles
번호 제목 좋아요 조회 수 글쓴이 날짜
23 2017학년도 6월모의고사 30번문제는 어떻게 만든것인가?       이 문제를 연구하는데 저를 정말 괴롭게 만들었던 점은 &quot;닫힌 구간 [0,a/2]&quot; 라는 표현과 (나)조건에 나오는 a 가 너무 난해했어요. 수학적인 아이디어가 나오려면 뭔가 분명한 &quot;목표&quot;가있어야하고 &quot;문제상황&quot;이 있어야하고 구하고자하는 이루고하자는 뭔가가 있어야돼요. 그렇지 않으면 아이디어는 나오기 어려워요. ... 1 1 495 지방한의대 2018.01.17
22 5월 예비평가 18번문제를 만드는방법 주의사항: 이글에서는 다소 직관적사고를 사용함    이 문제는 풀어보신분들은 아시겠지만 미분계수의 기하학적인 의미를 이용해서 풀리는데요.     이 문제는 어떻게 만든걸까요?    이 문제를 만들때 f(x)라는 함수를 처음부터 정확히 알고있는 상태에서 만드느냐 그렇지않느냐로 나뉘잖아요? 만약 후자라면 문제에서 주... 127 지방한의대 2018.01.17
21 평가원은 공간도형문제를 어떻게 만드나? 정사영이 처음나왔을때 수학을 연구하던사람들은 다양한 도형을 정사영 시켜봤을거에요.   직선,삼각형,사각형,오각형같은 평면도형도 정사영시켜보고 구,원뿔,원기둥,정사면체,직육면체,구의 단면과 같은 공간도형도 정사영을 시켜봤겠죠. 별의별 도형을 다 정사영시켜봤겠죠? 그중에서 원기둥을 예로들어보죠.   그림속의... 311 지방한의대 2018.01.17
» 2009수능 수리가형 25번문제의 아이디어가 나온 배경           09수능 25번 문제인데요.   이 문제가 어떻게 만들어진건지 개인적인 견해를 써보려고해요.     문제만드는사람들이 보시면 도움이 될거같아요.   이문제의 핵심적인 아이디어는 아래 그림처럼 빨간 직각삼각형을 포함하는 원이    이 구의 지름을 포함하는 원이 되기때문에 지름일때의 원주각이 직각이라는 사실... 1 189 지방한의대 2018.01.17
19 장수생 분들을 위한 수능개론 3 file 4 2952 중독 2017.05.07
18 국어 문학 (시) 접근법 - 네 번째 수기. 9 file 2 1499 뿌리깊은나무 2016.01.03
17 자소서 가이드 라인 - 세 번째 수기. 36 file 4 1513 뿌리깊은나무 2015.12.22
16 장수생 분들을 위한 2017 수능 tip 세 시간 걸려 썼는데 날아갔네요.ㅠㅠ..ㅎㅎㅎ 그냥 접으려다가 Q&amp;A 게시판에 질문들을 읽어보고 다시 적어 봅니다.   1. 2017 수능  (다시 처음부터 치기 힘들어 복붙+첨가로 대체합니다.) 출처 : http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&amp;dirId=110408&amp;docId=239764774&amp;qb=MjAxNyDsiJjriqU=&amp;enc=... 2 9 3499 피베리 2015.12.18
15 사용한 책 소개 - 첫 번째 수기. 홍보하려는 의도로 쓰는건 아니고   이제 대입 확정되고 여러 후배들 만나면서 얘기하다 보면, 가장 많이 물어보는 질문들이   1. 하루에 공부는 몇시간 했어요?   2. 잠은 몇시간이나 잤어요?   3. xx과목 공부법은?   인데요. 특히 3번은 저같은 경우는 '어떤 책들을 사서 어떤 단계별로 밟아가느냐'를 묻는다고 여겨, 책... 9 9 2967 뿌리깊은나무 2015.12.16
14 * 이과 한의대 정시 tip * 작년 이 맘때에 썼던 글을 올해 버전으로 수정해서 올립니다.    j사랑 제마나인위주로 원서팁을 드리고자합니다~ (j사는 여러 유명한 입시기관중 하나입니다.)      &lt;j사원리&gt;     종이배치표와 달리 j사는 시간이 지나면서 커트라인이 유동적으로 변하는데요.    j사같은 경우는 전년도 실제경쟁률을 기반으로 한 예상경쟁... 7 11 3246 샤르르 2015.11.29
13 공부잘하는 법 중의 하나. 오늘은 공부에 대해서 얘기해보자구. 공부라는 것을 하기위해 두 가지 관점에서 얘기해 볼 수 있는데 오늘 그 중의 하나만 얘기해볼게. 다른 하나는 나중에 시간날 때 적어보지. 머리가 좋으면 공부를 잘 할까? 당연히 그렇지 않다는 것은 잘 알겠지? 정말 머리가 너무 좋아서 축복받은 상위 0.1%의 타고난 천재들이 있기는 ... 8 10 3004 쌍둥아빠 2015.10.30
12 교육청이 만든 EBS 변형 문제 (총 295페이지) 이하 관련기사 내용입니다. 광주광역시교육청은 2016학년도 대입수능에 대비해 고3 수험생을 위한 ‘Final Review 유형별 수능 영어 평가 문항 자료’를 개발해 고등학교에 보급한다.  이번에 시교육청이 개발한 수능 영어 평가 문항 자료는 수능 연계율이 높은 EBS 교재를 활용하여 ‘문단요약’, ‘어법성 판단’ 등과 같이 학생... 8 7 1428 바닷빛 2015.09.01
11 [문과버전] 수학 기출 분석의 유난히 자세한 예 게시글 http://www.zema9.com/board_study/920567 21번, 30번 문제를 풀 수 있도록 기출문제집으로 공부하려고 할 때 어떤 교재를 쓰면 좋을까요? 의 답변입니다. 기출 분석만 제대로 한다면 무슨 기출 문제집을 풀든 상관이 없습니다. http://www.zema9.com/board_studydiary/914193 (수학 기본서 추천) 에서도 써놨듯이 어... 13 7 3855 바닷빛 2015.06.07
10 수학 기출 분석의 예 이하 행복한엄마님의 질문에 대한 답변이구요. (행복한엄마님의 질문 http://www.zema9.com/board_study/903926#comment_908941) 기출 분석만 제대로 한다면 여러 권 봐도 상관은 없습니다. http://www.zema9.com/board_study/901885#comment_902060 에서 길고양이님께서 『기출은 가볍게 푸는 거 아닙니다』라는 인상적인 ... 20 8 4155 바닷빛 2015.05.27
9 - - 23 14 15987 동신한의한의 2014.06.23
8 [6]멘탈 관리 (불안감 대처법) 13 file 4 12446 월훈 2013.12.13
7 국어영역 비문학 학습방법 밑에 올린 수기 댓글에서 요청받았던 국어영역 공부방법을 이제야 올립니다;;   문학은 제가 공부법을 올릴 정도로 잘 하는것도 아니고 특별한 공부법을 가지고 공부한 것도 아니기에 비문학 공부법만 올립니다:)   영어 학습법을 올릴 때도 아쉬운 점이었지만 수능이 끝나자마자 제가 이런 공부법 관련된 글을 쓰게 될 줄은... 6 2 9454 푸엘라 2013.12.12
6 [5]슬럼프 & 공부를 하는 이유 11 file 9402 월훈 2013.12.09
5 학습 계획 세우기 및 영어공부 전에 합격 수기를 쓰며 공부방법은 나중에 올려야지 하고 썼는데 이제야 올리게 됐네요ㅎㅎ (기차에서 폰으로 쓰는거라 글이 엉망이더라도 이해해주세요~그럼 스타트!!) 전 계획을 세울 때 플래너를 잘 이용하진 않아서 월훈님 글 담에 쓰려니 부담이 되지만 이것은 저에게 맞는 공부법일 뿐입니다! 제 방법이 맞는분도 안 ... 13 8511 푸엘라 2013.12.06
4 [4]월훈(月暈)의 플래너 구경하기! 17 file 11055 월훈 2013.12.05
Board Pagination Prev 1 2 Next
/ 2