조회 수 172 좋아요 0 댓글 0
?

단축키

Prev이전 문서

Next다음 문서

크게 작게 위로 아래로 댓글로 가기 인쇄

주의사항: 이글에서는 다소 직관적사고를 사용함 

 

%E3%85%8D%E3%84%B9.png
이 문제는 풀어보신분들은 아시겠지만 미분계수의 기하학적인 의미를 이용해서 풀리는데요.



%EB%AF%B8%EB%B6%84%EA%B3%84%EC%88%98.png

 

 

이 문제는 어떻게 만든걸까요? 

 

이 문제를 만들때 f(x)라는 함수를 처음부터 정확히 알고있는 상태에서 만드느냐

그렇지않느냐로 나뉘잖아요? 만약 후자라면 문제에서 주어진

2≤f(x)≤3x, f(1)=2,f(2)=6 이라는 조건을 만족시키는 어떤 함수f(x)가

뭔가 존재하겠지? 라는 직관만 가지고 문제를 만들게되기때문에 꽤 위험하죠.

왜냐면 이런함수가 실제로 존재안할수도 있는거니깐요. 

 

그래서 이문제를 어떻게 만든건지 추론해보려면 문제속의 f(x)가 어떤 함수인지를 알아야돼요.  

 

기울기가 다른 두직선사이에 존재하며 두직선위의 점을 지나는 함수는 뭐가있을까요? 

 

먼저 다항함수를 생각해봅시다!

 

우선 위의 그림을 보시면 아시겠지만 2차함수나 3차함수일리는 없겠죠? 

 

최소 4차함수라는걸 알수있어요. 근데 4차함수라면 2x를 밑으로 뚫고 내려올거니깐 안되잖아요? 

 

그러니까 다항함수보다는 초월함수일 가능성이높아요. 

 

지수함수와 삼각함수를 가지고 생각해볼건데 직관적으로 생각해볼게요. 

 

지수함수는 그 특성상 굉장히 기하급수적으로 증가하거나 감소하는 특성이 있잖아요? 

 

그래서 지수함수가 포함되어있는 함수식은 아무래도 두직선사이에서 얌전히 있을거같지가 않아요. 

 

그래서 지수함수보다는 삼각함수에서 찾아봐야돼요. 

 

sinx는 문제속의 그래프처럼 구불구불한 형태의 그래프기때문에 뭔가 가능성이 있을거같아요. 

 

그래서 sinx가 포함되있는 함수식중에서 찾아야되는데 sinx+1이나 -sinx는 단순히 평행이동 대칭이동이니까 

 

근본적으로 모양이 변하지않겠죠? 그래서 함수식에 x를 도입할건데요.  함수식이란게 결국 더하거나 빼거나 나누거나 

 

곱하거나 지수로 올리는거니까 

 

1.x+sinx 

 

2.x-sinx

 

3.sinx^x 

 

4..x^sinx

 

5.sinx/x 

 

6.x/sinx 

 

7.x*sinx 

 

 

정도의 후보가 있네요. 이중에서 하나를 선택해서 그려봐야하는데 

 

1번 2번은 더하는거나 빼는거나 형태가비슷하니까 생략하고 3번4번도 뭔가 비슷할거같네요. 

 

마찬가지로 5번 6번도 왠지 비슷할거같네요. 그래서 그냥 7번으로 한번 가봐요! ㅋㅋ 

(그냥 랜덤으로 고르는거니깐 아무거나 갈게요) 

 

 

 

 

clip_image019_0001.jpg

 

f(x)=x*sinx라두면 한가지 알수있는게 sinx는 -1과 1사이의 값만을 가지기때문에

 

-1≤sinx≤1 이되고 x를 각각곱해주면 -x≤x*sinx≤x 라는걸 알수있네요. 

 

쉽게말해 x*sinx는 -x와 x 사이에 존재하는 함수라는 얘기죠. 

 

 

main-qimg-f36654b00215b308208c83277238c4

 

(구글에 아무리 찾아봐도 y=x, y=-x 그래프가 마땅한게 없어서 이걸로 쓸게요ㅠㅠ)

 

 

그러면 이 그래프의 개형을 유추하기위해선 f(x)가 직선 x,-x 와 만나는 점이 있는지를 조사해야돼요. 

 

x*sinx=x -> sinx=1 이므로 f(x)=x*sinx와 y=x와 만나는 지점은 sinx=1 의 해라는얘기고 

 

마찬가지로 f(x)=x*sinx와 y=-x가 만나는 지점은 sinx=-1의 해라는 얘기에요. 

 

 즉,함수 f(x)는  (π/2,π/2),(3π/2,-3π/2),( 5π/2,5π/2) 등의 점을 지나게 돼요. 

 

그렇다면 저 점들에서 f(x)의 그래프는 어떻게 그려질까요? f(x)는 실수전체에서 

 

미분가능하니까 부드러운 곡선형태로 그려져야돼요. 또한 -x와 x의 경계부분을 넘지못하니까 

 

-x나 x에 접하는 형태로 그려지겠죠?

 

이런식으로 그래프를 그려보면 아래그림처럼 그릴수있어요. 

 

 

 



xsinx-300x257.png

47608.jpg

 

 

여기서 알수있는사실은 그림에 나와있는것처럼 f'(π/2)=1이고 

 

f'(3π/2)=-1이고 f'(5π/2)=1 이라는 사실을 알수있죠(도함수를 구해서 계산해보면 실제로 저렇게나와요)

 

이 아이디어로 만든문제가 5월 예비평가 18번문제가 아닐까 싶네요.

 

%EB%AF%B8%EB%B6%84%EA%B3%84%EC%88%98.png
 

 

간단하게 요약하면 이문제의 아이디어는 y=x*sinx 와같은 함수를 "그리는" 과정에서 

 

나왔다고 볼수있죠. 이문제는 수식적으로도 풀리고 기하학적으로 풀리는데요 

 

출제자가 기하학적인 풀이를 의도하고 문제를 만들었는데 결과적으로 수식적으로 풀리는

 

것일수도있구요. 처음부터 수식적인 풀이를 의도하고 만들었는데 우연히 결과적으로 

 

기하학적으로 풀리는것일수도 있을거같아요.

 

 

 

 

 

 

 

ps. 미분이라는게 곡선에 접하는 접선의 기울기를 구하기위해 나왔잖아요? 

 

즉, 미분이 나오기 전에도 곡선이라는개념이 있었으니까 위로볼록한곡선,아래로 볼록한 곡선의 개념도 있었겠죠 

 

그런데 xsinx가 -x≤x*sinx≤x라는사실과  (π/2,π/2),(3π/2,-3π/2),( 5π/2,5π/2)등의 점을 지난다는것은 

 

굳이 미분이 없어도 알수있는 사실이니까 함수 xsinx가 실수전체에서 미분가능하다고 "가정"을 하면 

 

미분이 없어도 일부점들에 대해서는 접선의 기울기를 알수있지않았을까 생각되네요. 

 

미분이 나온뒤에 정확한 계산을 통해서 검증이 되는거구요. 


공부칼럼

공부에 대한 여러가지 생각들을 모으는 게시판입니다.

List of Articles
번호 제목 좋아요 조회 수 글쓴이 날짜
23 2017학년도 6월모의고사 30번문제는 어떻게 만든것인가?       이 문제를 연구하는데 저를 정말 괴롭게 만들었던 점은 "닫힌 구간 [0,a/2]" 라는 표현과 (나)조건에 나오는 a 가 너무 난해했어요. 수학적인 아이디어가 나오려면 뭔가 분명한 "목표"가있어야하고 "문제상황"이 있어야하고 구하고자하는 이루고하자는 뭔가가 있어야돼요. 그렇지 않으면 아이디어는 나오기 어려워요. ... 1 1 700 지방한의대 2018.01.17
» 5월 예비평가 18번문제를 만드는방법 주의사항: 이글에서는 다소 직관적사고를 사용함    이 문제는 풀어보신분들은 아시겠지만 미분계수의 기하학적인 의미를 이용해서 풀리는데요.     이 문제는 어떻게 만든걸까요?    이 문제를 만들때 f(x)라는 함수를 처음부터 정확히 알고있는 상태에서 만드느냐 그렇지않느냐로 나뉘잖아요? 만약 후자라면 문제에서 주... 172 지방한의대 2018.01.17
21 평가원은 공간도형문제를 어떻게 만드나? 정사영이 처음나왔을때 수학을 연구하던사람들은 다양한 도형을 정사영 시켜봤을거에요.   직선,삼각형,사각형,오각형같은 평면도형도 정사영시켜보고 구,원뿔,원기둥,정사면체,직육면체,구의 단면과 같은 공간도형도 정사영을 시켜봤겠죠. 별의별 도형을 다 정사영시켜봤겠죠? 그중에서 원기둥을 예로들어보죠.   그림속의... 533 지방한의대 2018.01.17
20 2009수능 수리가형 25번문제의 아이디어가 나온 배경           09수능 25번 문제인데요.   이 문제가 어떻게 만들어진건지 개인적인 견해를 써보려고해요.     문제만드는사람들이 보시면 도움이 될거같아요.   이문제의 핵심적인 아이디어는 아래 그림처럼 빨간 직각삼각형을 포함하는 원이    이 구의 지름을 포함하는 원이 되기때문에 지름일때의 원주각이 직각이라는 사실... 1 262 지방한의대 2018.01.17
19 장수생 분들을 위한 수능개론 3 file 4 3247 중독 2017.05.07
18 국어 문학 (시) 접근법 - 네 번째 수기. 9 file 2 1552 뿌리깊은나무 2016.01.03
17 자소서 가이드 라인 - 세 번째 수기. 36 file 4 1559 뿌리깊은나무 2015.12.22
16 장수생 분들을 위한 2017 수능 tip 세 시간 걸려 썼는데 날아갔네요.ㅠㅠ..ㅎㅎㅎ 그냥 접으려다가 Q&A 게시판에 질문들을 읽어보고 다시 적어 봅니다.   1. 2017 수능  (다시 처음부터 치기 힘들어 복붙+첨가로 대체합니다.) 출처 : http://kin.naver.com/qna/detail.nhn?d1id=11&dirId=110408&docId=239764774&qb=MjAxNyDsiJjriqU=&enc=... 2 9 3647 피베리 2015.12.18
15 사용한 책 소개 - 첫 번째 수기. 홍보하려는 의도로 쓰는건 아니고   이제 대입 확정되고 여러 후배들 만나면서 얘기하다 보면, 가장 많이 물어보는 질문들이   1. 하루에 공부는 몇시간 했어요?   2. 잠은 몇시간이나 잤어요?   3. xx과목 공부법은?   인데요. 특히 3번은 저같은 경우는 '어떤 책들을 사서 어떤 단계별로 밟아가느냐'를 묻는다고 여겨, 책... 9 9 3063 뿌리깊은나무 2015.12.16
14 * 이과 한의대 정시 tip * 작년 이 맘때에 썼던 글을 올해 버전으로 수정해서 올립니다.    j사랑 제마나인위주로 원서팁을 드리고자합니다~ (j사는 여러 유명한 입시기관중 하나입니다.)      <j사원리>     종이배치표와 달리 j사는 시간이 지나면서 커트라인이 유동적으로 변하는데요.    j사같은 경우는 전년도 실제경쟁률을 기반으로 한 예상경쟁... 7 11 3402 샤르르 2015.11.29
13 공부잘하는 법 중의 하나. 오늘은 공부에 대해서 얘기해보자구. 공부라는 것을 하기위해 두 가지 관점에서 얘기해 볼 수 있는데 오늘 그 중의 하나만 얘기해볼게. 다른 하나는 나중에 시간날 때 적어보지. 머리가 좋으면 공부를 잘 할까? 당연히 그렇지 않다는 것은 잘 알겠지? 정말 머리가 너무 좋아서 축복받은 상위 0.1%의 타고난 천재들이 있기는 ... 8 11 3175 쌍둥아빠 2015.10.30
12 교육청이 만든 EBS 변형 문제 (총 295페이지) 이하 관련기사 내용입니다. 광주광역시교육청은 2016학년도 대입수능에 대비해 고3 수험생을 위한 ‘Final Review 유형별 수능 영어 평가 문항 자료’를 개발해 고등학교에 보급한다.  이번에 시교육청이 개발한 수능 영어 평가 문항 자료는 수능 연계율이 높은 EBS 교재를 활용하여 ‘문단요약’, ‘어법성 판단’ 등과 같이 학생... 8 7 1490 바닷빛 2015.09.01
11 [문과버전] 수학 기출 분석의 유난히 자세한 예 게시글 http://www.zema9.com/board_study/920567 21번, 30번 문제를 풀 수 있도록 기출문제집으로 공부하려고 할 때 어떤 교재를 쓰면 좋을까요? 의 답변입니다. 기출 분석만 제대로 한다면 무슨 기출 문제집을 풀든 상관이 없습니다. http://www.zema9.com/board_studydiary/914193 (수학 기본서 추천) 에서도 써놨듯이 어... 13 8 4093 바닷빛 2015.06.07
10 수학 기출 분석의 예 이하 행복한엄마님의 질문에 대한 답변이구요. (행복한엄마님의 질문 http://www.zema9.com/board_study/903926#comment_908941) 기출 분석만 제대로 한다면 여러 권 봐도 상관은 없습니다. http://www.zema9.com/board_study/901885#comment_902060 에서 길고양이님께서 『기출은 가볍게 푸는 거 아닙니다』라는 인상적인 ... 20 8 4269 바닷빛 2015.05.27
9 - - 23 14 16044 동신한의한의 2014.06.23
8 [6]멘탈 관리 (불안감 대처법) 13 file 4 12691 월훈 2013.12.13
7 국어영역 비문학 학습방법 밑에 올린 수기 댓글에서 요청받았던 국어영역 공부방법을 이제야 올립니다;;   문학은 제가 공부법을 올릴 정도로 잘 하는것도 아니고 특별한 공부법을 가지고 공부한 것도 아니기에 비문학 공부법만 올립니다:)   영어 학습법을 올릴 때도 아쉬운 점이었지만 수능이 끝나자마자 제가 이런 공부법 관련된 글을 쓰게 될 줄은... 6 2 9570 푸엘라 2013.12.12
6 [5]슬럼프 & 공부를 하는 이유 11 file 9488 월훈 2013.12.09
5 학습 계획 세우기 및 영어공부 전에 합격 수기를 쓰며 공부방법은 나중에 올려야지 하고 썼는데 이제야 올리게 됐네요ㅎㅎ (기차에서 폰으로 쓰는거라 글이 엉망이더라도 이해해주세요~그럼 스타트!!) 전 계획을 세울 때 플래너를 잘 이용하진 않아서 월훈님 글 담에 쓰려니 부담이 되지만 이것은 저에게 맞는 공부법일 뿐입니다! 제 방법이 맞는분도 안 ... 13 8574 푸엘라 2013.12.06
4 [4]월훈(月暈)의 플래너 구경하기! 17 file 11123 월훈 2013.12.05
Board Pagination Prev 1 2 Next
/ 2